Escher, artistul “hiperbolic” si matematica vizuala (3)
Escher, cristalograful
Desenele lui Escher se bazeaza, de asemenea, pe un alt domeniu interesat de grupurile și operațiunile simetriei: cristalografia. In anii 1920, fratele său l-a initiat in disciplina fizicii starii solide care studiaza formele cristaline. Pentru a înțelege modul in care Escher s-a inspirat din aceasta disciplina ar trebui știute câteva lucruri despre cristale.
Specificitatea cristalelor (precum sarea, zahărul, diamantele și, în general, toate mineralele) este aceea de a prezenta o structură periodică perfect ordonata la scară atomică. Sarea de masă, spre exemplu, (clorura de sodiu) este alcătuita din miliarde de “mici cuburi”, care seamana cu aceasta structura (bilele verzi reprezintă atomii de clor, iar bilele albastre, atomii de sodiu):
Structura cristalina a NaCl (sarea de bucatarie)
O structura tridimensionala realizata de Escher
Repetarea acestui cub în cele trei direcții ale spațiului, constituie un cristal de sare. Structura unui cristal nu este numai cubica, existand inca 6 sisteme cristalografice: tetragonal (patratic), ortorombic (ortogonal), monoclinic, triclinic, trigonal (romboedric) si hexagonal. Un alt concept important este acela de “motiv“, adica entitatea de bază care, repetată la fiecare punct al retelei cristaline (numit “nod”), va forma cristalul ca un întreg. Un exemplu bidimensional:
Escher, sedus de această simplitate simetrica, a preluat conceptul și a inventat motive deosebit de sofisticate. In exemplul de mai jos, s-au trasat liniile de simetrie. Rombul rosu prezinta un motiv repetitiv (se poate alege oricare motiv, atâta timp cât se poate reconstitui intregul desen prin repetare lui).
[Cristal: obiect solid in care un motiv de atomi se repeta pe toate cele trei directii.
Descrierea cristalului: descrierea motivului + lungimea si directia celor trei vectori care descriu repetitivitatea in spatiu.
Motivul: atom, molecula sau o unitate dintr-o retea. Reteaua este formata din mai multe motive care pot fi transformate unele in altele prin operatii de simetrie.]
Descrierea formală a structurilor cristalografice implică, de asemenea, teoria grupurilor. Pentru a descrie o structură, se stabileste forma retelei cristaline de baza (de exemplu, un cub) și operațiunile de simetrie care lasa sistemul cristalin invariant, adică neschimbat. Cu alte cuvinte, se poate porni de la un motiv elementar și să se reconstituie întreaga rețea de bază prin operațiuni de transformare. Acest lucru pare a fi un pic mai complicat, asa ca se prezinta un mic exemplu de transformări posibile în 2 dimensiuni, cu un măr și o banană ca motiv elementar și o rețea de baza ce contine 8 mere si 8 banane. Prin juxtapunerea pătratelor completate în același mod, se formeaza un cristal în două dimensiuni.
Preocupat de cristalografie, Escher explorează un alt domeniu al matematicii referitor la următoarea întrebare: pentru o anumită formă, care este cel mai bun aranjament (dispunere) pe o suprafață plană, cel care sa permita cele mai puține pierderi? In desenele lui Escher, pierderile sunt nule, deoarece acesta poate alege să distorsioneze motivele dupa placul sau. Această problemă are aplicații practice: de exemplu, atunci când se doreste decuparea unui numar maxim de piese din aluminiu de pe cea mai mica placa posibila. Alte exemple de pavaje inteligente imaginate de Escher:
[Pavaj (sau dalaj): partiție a unui spațiu (de obicei un spațiu euclidian: un plan sau spatiu tridimensional), prin elementele unui ansamblu finit, numite dale. De obicei, pavajele se constituie prin translație, adică, aceleași două dale sunt întotdeauna deductibile una din cealaltă printr-o translație (cu excepția rotațiilor sau simetriilor). Există, de asemenea, pavaje ale spațiilor neeuclidiene, cele mai notorii fiind fara indoiala numeroasele pavaje ale lui M. C. Escher (pavaje uniforme ale planului hiperbolic).
Pavaje periodice
Pavajele periodice plane sau spațiale sunt cunoscute încă din antichitate și au fost deseori utilizate ca motive decorative in arhitectura.
In cristalografie, aceste pavaje modeleaza aranjamentele periodice ale atomilor (cristale). In 1891, matematicianul și cristalograful rus Evgraf Fedorov a demonstrat că există doar 17 tipuri de grupuri cristalografice plane (grupuri de izometrie ce conțin un subgrup discret bidimensional de translație).
Ulterior, Heinrich Heesch a demonstrat în 1968 că există 28 de tipuri de dale (sau țigle). Totusi, această clasificare a fost îmbunătățită, deoarece unele dintre cele 28 de tipuri sunt cazuri particulare ale altora. Astfel, in total, exista 19 tipuri de dale pentru pavajele periodice plane.
Multe dintre aceste tipuri pot fi realizate prin pavaje ale caror dale sunt poligoane regulate. Palatul Alhambra din Granada conține mozaicuri ilustrând aproape toate tipurile de pavaje.]
Este interesant de observat că Roger Penrose, care a fost o sursă de inspirație pentru Escher, publica în 1970 un articol despre pavajele neperiodice care permit umplerea unui spatiu plan. Aceste pavaje nu aveau in acea perioada nici un corespondent in lumea reală. In 1984, ele vor fi utilizate pentru a descrie structura cvasi-cristalelelor recent descoperite.
Eleganta simetrie
Principiul simetriei este omniprezent în fizică. Chiralitatea, de exemplu, este un concept care se referă la simetria “oglinda”. Dacă un obiect are o imagine în oglindă, cu care el nu se confunda, se spune că este chiral. Mâinile, de exemplu, sunt obiecte chirale: mâna stângă este imaginea mâinii drepte în oglindă, dar este imposibil să se confunde, dacă acestea sunt suprapuse. O minge de ping-pong, dimpotriva, este imposibil de distins de imaginea sa in oglindă: aceasta nu este un obiect chiral. Noțiunea de simetrie este, de asemenea, legata de o întrebare fundamentală: de ce Universul nostru este format din materie si nu din antimaterie? Ecuațiile fizicii sunt totusi simetrice: fiecare particulă poseda o antiparticulă care are o sarcina opusa.
Deoarece ecuațiile sunt simetrice, de asemenea, în raport cu timpul, se poate considera antimateria ca materie “normală” care „întoarce timpul înapoi”. Dar de ce antimateria pare să fi dispărut din Universul nostru? In 1957, Premiul Nobel pentru Fizica a fost acordat lui Chen Ning Yang (împreună cu Tsung-Dao Lee), la 35 de ani pentru activitatea sa asupra nonconservarii paritatii in interacțiunile nucleare slabe.
Această teorie a fizicii cuantice descrie încălcarea unui tip de simetrie în anumite reactii intre particule (interacțiunile nucleare slabe dintre particulele elementare nu au simetrie de paritate la reflexia în oglindă). Astfel, el arată faptul ca un experiment realizat cu materie nu este reflectarea exactă în oglindă a aceluiași experiment realizat cu antimaterie. Pentru a-si ilustra punctul de vedere, el folosește gravura Cavalerii:
Cavalerii
Plasand o oglindă verticală în mijlocul imaginii, motivul cavalerilor albi (materia) devine efectiv cel al cavalerilor negri (antimateria), dar trebuie adăugata o translație verticală (trebuie deplasat motivul obținut în sus sau în jos), astfel încât sa se suprapuna pe el însuși.
Escher si obsesia infinitului
Eternul început este o temă omniprezentă în lucrarile lui Escher. Obsedat de ideea de spațiu (sau de vid) infinit, pavajele sale cristalografice plane sunt ca o încercare de a-l defini. Intrigat de spirale, a pictat figuri ce sfarsesc prin a se confunda, fuzionand în cercuri concentrice, ca în desenul de mai jos. Dar această transformare graduală nu l-a satisfacut pe Escher pentru care conservarea motivului este foarte importanta.
Dezvoltare
Escher a revenit la aceste motive după o corespondenta cu matematicianul canadian H. S. M. Coxeter. Acesta din urmă i-a prezentat geometria hiperbolică inventata de Poincaré. De atunci, Escher a devenit interesat de pavajele circulare limitate, cu o serie de xilogravuri (gravuri in lemn) remarcabile in care motivul se repeta la nesfârsit în mod descrescator. Aceste figuri seamana cu proiecțiile stereografice utilizate, de asemenea, în cristalografie. Mai târziu, frustrat de limitările colii de hartie plate, Escher a revenit la sfera, realizand sculpturi cu motive in formă de bila. Astfel, indiferent de direcția urmată pe suprafața sferei, motivul se repetă la infinit.
Proiectia stereografica a diamantului
Escher lucrand un motiv sferic infinit cu pesti
Fluturii
Limite circulare
Aceste structuri care se repeta la nesfarsit pe toate nivelurile sunt fractali, un termen care nu exista la momentul respectiv. Matematicianul Benoit Mandelbrot l-a inventat în 1974, la doi ani după moartea lui Escher. Nu există nici o îndoială că artistul a fost fascinat de aceste obiecte extraordinare. Dar oare ar fi fost de acord să lucreze pe un calculator?
Aceste lucrari grafice sunt o ilustrare excelenta a unor concepte matematice, cum ar, de exemplu, acela de limita. Matematicianul D. J. Lewis afirma: “La fel ca in stampele lui Escher, cele mai bune rezultate au adesea drept consecinta o aproximare sistematică combinată cu cateva subiecte ingenioase și adecvate.”
Faima sa a crescut in randul oamenilor de stiinta si i-a adus la cunoștința alte obiecte matematice interesante din punct de vedere topologic, printre care faimoasa panglica Möbius (banda sau bucla Möbius) : o panglica avand o singura fata si pe care se poate parcurge intreaga suprafață in mod continuu. Escher s-a folosit de acest obiect matematic pentru a ilustra încă o dată infinitul: furnicile care parcurg la nesfârșit aceeași parte a benzii.
A lucrat, de asemenea, asupra altor obiecte topologice conexe, precum Noduri sau Spirale.
Intr-unul dintre cele mai cunoscute desene, intitulat Reptile, se regaseste o buclă perpetuă și tema trecerii de la abstract (reptila desenata) la viață (reptila vie) și invers. De asemenea, Escher si-a manifestat interesul în special pentru teoria darwinistă și pentru trecerea de la haos la ordine, în general.
Reptile
Mainile care deseneaza
Escher era convins că adevărata natură a lumii ne scapă. Asemenea filozofilor greci sau oamenilor de știință moderni, a sugerat faptul că Universul nostru este doar un nivel al realitatii într-un Univers mai vast. Este interesant de facut o paralelă cu principiul holografic dezvoltat în teoriile cosmologice moderne. Acest principiu este o conjectura (presupunere) imaginata în contextul teoriei gravitației cuantice. El propune faptul că “orice informație conținuta într-un volum de spațiu poate fi descrisa printr-o teorie care se situeaza pe marginile acestei regiuni a spatiului”. Ea se bazează pe analogia cu functionarea unei holograme: spre deosebire de o imagine clasică, fiecare parte a unei holograme contine toate informatiile necesare pentru a reconstitui imaginea ei 3D.
[În fizica teoretică, principiul holografic este o conjectura (presupunere) speculativa în cadrul teoriei gravitației cuantice, propusa de Gerard ‘t Hooft în 19931 și îmbunătățita, în 1995, de către Leonard Susskind. Acesta este rezumat astfel de Susskind: “Cantitatea maximă de informații conținute într-un volum de spațiu nu poate fi mai mare decât cea care este stocata pe suprafața acestui volum, sau o cantitate elementara sau “bit” de informații ocupă o pătrime din suprafața lui Planck.” (sp ≈ 2,61186(31)x10-70 m2)
De exemplu, dacă se realizeaza o hologramă a unui mar și a unei banane pe o placa și se proiecteaza deasupra un fascicul de lumină, se produce o imagine tridimensională a fructelor. Dacă aceasta placa se taie în 4 bucăți, se obține același rezultat. De fapt, luand chiar o parte foarte mică din placă, se ajunge tot la reproducerea imaginii 3-dimensionale a marului si a bananei (dar imaginea va pierde putin din calitate). Acest principiu este putin mai greu de imaginat, dar ilustrează foarte bine modul în care gravitatia pare să se manifeste în dimensiuni suplimentare ale spațiului. Pe acest subiect, se poate citi “Universul intr-o coaja de nuca” de Stephen Hawking.
Principiul holografic
© CCC
Escher, artistul “hiperbolic” si matematica vizuala (4)