Geometrizarea fizicii

Chiar dacă geometria a influențat intotdeauna teoriile asupra structurii Lumii (cf. Platon și poliedrele), iar geometria abstractă a început să se impună in fizica înainte de apariția teoriei relativității lui Einstein, aceasta a marcat totusi începutul unei noi ere.

Intr-adevăr, datorita ei, pentru prima dată în istoria științei moderne, geometria nu a mai fost folosita doar ca un instrument comod, si un fenomen fizic foarte concret, și anume gravitația, isi gasea o explicație pur geometrică. Succesul acestei noi “geometrizari” a fizicii a avut un asemenea impact incat, incepand din 1919, s-a încercat să se extindă cadrul geometric propus de relativitatea generalizată pentru a descrie mai multe fenomene fizice, Einstein dedicand el insusi mai mulți ani pentru a căuta o teorie unificată, în care gravitația și electromagnetismul sa fie “geometrizate”.

Cu toate acestea, desi odata cu nașterea relativității generalizate aproape ca încă se mai putea crede că gravitația și electromagnetismul erau singurele interacțiuni de luat în considerare, descoperirea dezintegrarii beta, apoi cea a elementelor constitutive ale nucleelor atomice, au facut putin caduc principiul ce le considera numai pe acestea. In plus, apariția fizicii cuantice a bulversat complet cadrul conceptual, introducand un formalism matematic la fel de nou ca si geometria diferentiala, ce combină geometria analitică cu analiza matematică.

Matematicianul polonez Theodor Kaluza (1885 – 1954) este cunoscut ca fiind unul dintre primii fizicieni care au imaginat o teorie cu dimensiuni suplimentare în Univers, numele lui fiind adesea menționat în introducerea la teoria corzilor.

De asemenea, Kaluza este foarte cunoscut pentru faptul că a demonstrat ca teoria lui Maxwell a electromagnetismului si cea a relativității generalizate a lui Einstein puteau fi ușor regasite pornind de la o teorie relativistă, geometrica, cu 5 dimensiuni (patru ale spațiului și una a timpului). Mai precis, el a descoperit ca daca se porneste de la o metrică pe un spațiu-timp (intervalul spațiu-timp poate fi considerat ca o metrica a spatiului) cu 5 dimensiuni și i se impune să se supună generalizarii naturale a ecuațiilor lui Einstein, se constata că această metrica se descompune in mod natural intr-un cvadrivector, verificand ecuatii foarte similare cu cele ale lui Maxwell, plus un tensor (entitate geometrică generalizând noțiunea de vector) metric cvadridimensional (cu patru dimensiuni) care satisface ecuații foarte similare cu cele ale lui Einstein, in patru dimensiuni.

Totodata, pentru a regăsi intocmai ecuațiile lui Maxwell și pentru a raporta constatarea unui spatiu-timp doar cvadridimensional, Kaluza a trebuit să presupună că variabilele fizice erau independente de a cincea coordonata. Acest tratament ad-hoc (propus în 1921) a fost îmbunătățit câțiva ani mai târziu (în 1926) de către fizicianul suedez Oskar Klein, a cărui contribuție foarte originala a fost de a propune ca aceasta a cincea dimensiune sa fie “pliata în ea însăși,” sau in termeni moderni sa fie “compactificata”.

Această ipoteză putea explica într-adevăr, din punct de vedere “fizic”, de ce a cincea dimensiune era neobservabila, dacă, in plus, se presupunea ca marimea infasurarii este foarte mică (de ordinul lungimii lui Planck, 10-35 m), ceea ce   a permis, de asemenea, justificarea faptului că interacțiunea electromagnetică dintre doi electroni este mult mai puternică decât atracția lor gravitațională.

Cu aceasta idee a unei a cincea dimensiuni compactificate, in lumea noastra cvadridimensionala s-a produs o modificare de perspectiva fata de cea de-a cincea dimensiune, considerata ca o “schimbare de fază” a undei electromagnetice și / sau cuantice, care a avut si o altă consecință in a explica cuantificarea sarcinii electrice.

Reductia dimensionala sau compactificarea

Reductia dimensionala a unui spațiu poate fi realizata prin lipirea marginilor sale și comprimarea lui. De exemplu, o foaie bidimensionala de cauciuc este mai intai rulata într-un cilindru, iar dimensiunea rulata este apoi micsorata. Atunci când ajunge suficient de subțire, cilindrul arata ca o linie (unidimensionala).

Reductie dimensionala: cilindrul devine o linie,

torul devine un cerc, apoi un punct

Ilustrarea unuia dintre modurile în care dimensiunile unui spatiu (bidimensional, în acest exemplu), inițial plate și non-compactificate, pot fi compactificate și apoi “reduse în dimensiuni”, devenind “invizibile”, așa cum este a cincea dimensiune în modelul Kaluza-Klein. Reprezentarea spatiu-timpului imaginat de Oskar Klein: in fiecare punct din spațiul obișnuit (plan), a cincea dimensiune este reprezentata de un cerc pe care te poți deplasa, ramanand în aceeași loc in spațiul cu patru dimensiuni (aici cu doua dimensiuni pentru ușurința ilustrarii).

Prin răsucirea în jurul acestei lungimi a “furtunului” si lipirea capetelor sale, se obține o formă de tor asemanatoare unei gogosi. Raza torului poate fi micșorata până când este suficient de mica incat sa aproximeze un punct – un spațiu zero dimensional. Astfel de modificări ar putea explica de ce dimensiunile suplimentare ale spațiu-timpului pe care teoria corzilor le presupune ca exista sunt prea mici pentru a fi detectate.

Cu toate acestea, teoria Kaluza-Klein prezenta diverse probleme care au făcut ca ea sa rămana uitata timp de câteva decenii. In special, decupajul 4+1 al metricii pentadimensionale (cu cinci dimensiuni) implica, de asemenea, existența unui câmp scalar ( “dilatonul“), care nu corespundea cu nimic din ceea ce era cunoscut la acea epoca. In plus, anii 1920-1930 au fost cei pe parcursul carora si-a facut aparitia fizica cuantică și, destul de repede, s-a reușit cuantificarea electromagnetismului, desi o teorie cuantica a  gravitației ramane inca un fel de Sfânt Graal, ceea ce nu a facut decat sa accentuaeze lipsa de interes pentru o teorie non-cuantică unificata.

Cu toate acestea, cele două caracteristici fac parte, de asemenea, din motivele pentru care principiul dimensiunilor suplimentare compactificate a fost reactualizat pentru teoria superstringurilor, în anii 1980. Inainte de a ajunge la el și la tentativele mai moderne, o altă abordare, adesea adoptata pentru generalizarea  teoriei lui Einstein, trebuie sa fie menționata. Este vorba de abordarea prin care nu se modifica numărul de dimensiuni ale spațiu-timpului, ci se schimba natura modelarii geometrice a acestuia din urma.

Astfel, pornind de la o “varietate” de orice dimensiune, se pot introduce “structuri de măsurare” mai generale decat tensorul metric folosit în teoria relativității și in geometria riemanniana. De exemplu, este destul de simplu sa se constate că, dacă nu se presupune, așa cum se face în geometria riemanniana, că el este simetric, aceasta nu schimbă cu nimic noțiunile de măsura a distanțelor sau a standardelor, dar măsurile unghiurilor sunt afectate. Acest tip de generalizare a relativității a fost testata (fără succes) în 1921 de către fizicianul german Ernst Reichenbacher, iar mai târziu (1948), de către fizicianul austriac Erwin Schrödinger, parintele ecuației fundamentale a fizicii cuantice.

In cele din urmă, o altă abordare consta in a lua in considerare patru dimensiuni, și a acorda rolul esential nu metricii, ci unui alt obiect matematic numit “conexiune“, care serveste la compararea valorilor diverselor marimi matematice in puncte diferite ale unei varietati. Ori, daca acest concept de conexiune  intervine mult în relativitatea generală, se pare că poate fi formulat, de asemenea, intr-o maniera mai generala in cadrul geometriei afine sau metrica afina, ceea ce constituie o altă procedură geometrică pentru îmbogățirea cadrului teoretic.

Această metodă a fost folosită de către matematicianul francez Élie Cartan (care a contribuit enorm la dezvoltarea geometriei diferențiale), dar si de Einstein, iar recent a redevenit foarte la moda, prin fizicianul indian Abhay Ashtekar, care a introdus o reformulare a relativității generalizate, bazate pe conceptul de conexiune care se află la baza “gravitației cuantice cu bucle” (loop quantum gravity), una dintre cele mai promițătoare teorii moderne pentru cuantificarea interacțiunii gravitaționale.

Un alt “ingredient matematic” fundamental folosit de Ashtekar, și de alții înaintea lui, este conceptul de “numere complexe” aceste numere care generalizeaza numerele reale, astfel încât datele unui număr complex sunt echivalente cu un cuplu de numere reale.  Astfel, se poate ghici cu ușurință, ca este vorba de o altă metodă de a multiplica numărul de variabile dinamice posibile, păstrând în același timp un cadru geometric 4-dimensional (a se vedea „teoria twistor”, twistor theory, elaborata de către Roger Penrose). Cu toate acestea, înainte de a porni la teoriile mai moderne (teoria corzilor și gravitația cuantica cu bucle), este necesara descrierea unor generalizări ale teoriei lui Einstein introduse în anii 1940-1950, si care se bazează pe ipoteze fizice, mai degrabă decât geometrice, teoria corzilor fiind de altfel un fel de combinatie a acestor două principii.

Ilustrarea conceptului de “transport paralel”, care implică interventia celui de “conexiune”, pentru a compara, de exemplu, doi vectori definiti fiecare într-un punct diferit al unui spațiu curb. In imaginea din stanga (planul euclidian), vectorul este inițial situat în punctul Q. Este deplasat paralel cu el însuși de-a lungul dreptei si curbei QP, apoi de-a lungul dreptei si curbei PN și, în final de-a lungul dreptei si curbei NQ, revenind in punctul sau initial. In imaginea din stanga, planeitatea implica faptul că vectorul final este identic cu vectorul initial. In schimb, în cazul sferei (imaginea din dreapta), curbura apare din faptul că vectorul obținut la sfârșitul acestei proceduri este diferit de vectorul inițial.

© CCC

Continuare… Supercorzile si teoria M

Inceputul articolului: In cautarea unei teorii a totului

Share |

Leave a Reply

Copy Protected by Chetan's WP-CopyProtect.