Infinitul, un sfinx enigmatic cu multe fețe
Infinitul a fost mult timp o sursă de fascinație ce a intrigat gândirea umană și a servit drept piatră de temelie în domenii variind de la matematică la filosofie și cosmologie. În forma sa cea mai simplă, infinitul reprezintă nemărginirea și nesfârșitul, întruchipate în simbolul cifrei opt (∞), introdus de John Wallis în secolul al XVII-lea. Această reprezentare abstractă își are rădăcinile în simboluri anterioare, precum ouroboros – un șarpe care își devorează coada – simbolizând ciclicitatea și eternitatea.
Infinitul este perceput pe scară largă ca fiind nemărginit și incomensurabil, simbolizat de cifra opt culcată (∞) în matematică și filosofie. Infinitul este conceptul a ceva nemărginit, fără limite sau fără sfârșit, reprezentând o cantitate mai mare decât orice număr finit, un proces care nu se oprește niciodată sau o stare fără limite spațiale sau temporale, adesea descris ca fiind „fără sfârșit”.
Deși este o idee fundamentală în matematică și fizică, este, de obicei, mai degrabă un concept decât un număr specific, deși matematicienii lucrează cu diferite „mărimi” ale infinitului (cum ar fi numerele transfinite) și folosesc simbolul pentru a desemna procese fără sfârșit sau cantități vaste.
În esență, infinitul este un concept matematic abstract care reprezintă nemărginitul, o stare dincolo de orice măsură fixă și un instrument crucial pentru înțelegerea matematicii și a universului. Deși este important în matematică, acest concept poate fi întâlnit și în informatică, artă, filozofie, fizică, cosmologie și cultura populară.
Infinitul este conceptul a ceva nelimitat, fără sfârșit, fără limite. Simbolul obișnuit pentru infinit, ∞, a fost inventat de matematicianul britanic John Wallis în 1655. Se pot distinge trei tipuri principale de infinit: matematic, fizic și metafizic.
Infiniturile matematice apar, de exemplu, ca număr de puncte de pe o linie continuă sau ca dimensiunea secvenței nesfârșite de numere: 1, 2, 3,… Exemple de numere cu cifre infinite includ pi (π), phi (Φ) și rădăcina pătrată a numerelor prime. Până în prezent, au fost calculate 63 de trilioane de zecimale ale numărului π.
Conceptele spațiale și temporale ale infinitului apar în fizică atunci când cineva se întreabă dacă există o infinitate de stele sau dacă universul va dura pentru totdeauna.
Într-o discuție metafizică despre Dumnezeu sau Absolut, există întrebări dacă o entitate ultimă trebuie să fie infinită și dacă și lucrurile mai mici ar putea fi infinite.
Simbolul infinitului și istoria sa
Simbolul infinitului (∞) servește ca reprezentare vizuală a unor concepte precum nesfârșitul, continuitatea și interconectarea. Figura sa în buclă sugerează un flux nesfârșit, rezonând cu percepțiile umane despre nemărginire.
Din punct de vedere istoric, simbolul își datorează introducerea lui John Wallis, care l-a folosit în tratatele matematice pentru a desemna valori nelimitate. Designul său ar fi putut fi inspirat de ouroboros sau cifrele romane (CIƆ), ambele semnificând cantități mari sau infinite în contexte antice. Dincolo de matematică, simbolul infinitului și-a găsit semnificație în filosofie, artă și narațiuni culturale, reprezentând posibilitățile infinite și ciclicitatea vieții și a timpului.
În cosmologie, infinitul este, în mod paradoxal, legat de singularități, care reprezintă densitatea, gravitația și curbura spațiu-timpului, în puncte infinit de mici, infinite. Simbolul infinitului este o metaforă pentru expansiunea universului determinată de singularități. Intersecția buclelor simbolului reprezintă singularitatea – un loc al potențialului infinit – în timp ce buclele sale nesfârșite simbolizează creșterea nemărginită a spațiu-timpului.
În acest sens intuitiv, infinitul este înțeles nu ca un punct singular, ci ca o stare expansivă, continuă – un contrast puternic cu omologul său cosmologic găsit în singularități.
Clericul și matematicianul englez John Wallis a introdus simbolul infinitului ∞ în 1655. Simbolul se numește lemniscată.
Cuvântul „leminscată” provine din cuvântul latin lemniscus, care înseamnă „panglică”. Cuvântul „infinit” provine din cuvântul latin “infinitas”, care înseamnă „nemărginit”. Este posibil ca Wallis să fi bazat lemniscata pe numărul roman pentru 1000 (M), pe care romanii îl foloseau pentru a însemna „nenumărat”, precum și pe numărul real. O altă posibilitate este ca leminscata să fie o formă a literei grecești omega (Ω sau ω), care este ultima literă a alfabetului grecesc.
Însă, conceptul de infinit a existat cu mult înainte de stabilirea simbolului său. Grecii antici exprimau infinitul prin cuvântul apeiron, care avea conotații de nelimitat, nedeslușit, nedefinit și fără formă. Filosoful grec Anaximandru (cca. 610 – cca. 546 î.e.n.) a descris conceptul de apeiron, care înseamnă „nelimitat”. Aristotel (350 î.e.n.) a făcut distincție între diferite tipuri de infinit. Teoremele lui Euclid făceau referire la acest concept.
Una dintre cele mai vechi apariții ale infinitului în matematică se referă la raportul dintre diagonala și latura unui pătrat. Pitagora (cca. 580–500 î.e.n.) și adepții săi au crezut inițial că orice aspect al lumii poate fi exprimat printr-un aranjament care implică doar numere întregi (0, 1, 2, 3,…), dar au fost surprinși să descopere că diagonala și latura unui pătrat sunt incomensurabile – adică lungimile lor nu pot fi ambele exprimate ca multipli întregi ai vreunei unități comune (sau a unei reguli de măsurare).
În matematica modernă, această descoperire este exprimată spunând că raportul este irațional și că este limita unei serii zecimale (fracții zecimale) nesfârșite, nerepetitive. În cazul unui pătrat cu laturi de lungime 1, diagonala este rădăcina pătrată din √2, scrisă ca 1,414213562…, unde cifrele lipsă (…) indică o secvență nesfârșită de cifre diferite.
Atât Platon (428/427–348/347 î.e.n.), cât și Aristotel (384–322 î.e.n.) au împărtășit aversiunea generală a grecilor față de noțiunea de infinit. Aristotel a influențat gândirea ulterioară timp de mai bine de un mileniu prin respingerea infinitului „real” (spațial, temporal sau numeric), pe care l-a deosebit de infinitul „potențial” de a putea număra la nesfârșit.
Între timp, matematicienii jainiști din India au dezvoltat și ei conceptul. Surya Prajnapti (cca. secolele IV-III î.e.n.) a descris numerele ca fiind fie numărabile, fie nenumărate, fie infinite.
Pentru a evita utilizarea infinitului real, Eudoxus din Cnidos (cca. 400–350 î.e.n.) și Arhimede (cca. 285–212/211 î.e.n.) au dezvoltat o tehnică, cunoscută mai târziu sub numele de metoda epuizării, prin care o suprafață era calculată prin înjumătățirea în etape succesive, până când suprafața rămasă era sub o anumită valoare fixă (regiunea rămasă fiind „epuizată”).
Problema numerelor infinit de mici a condus la descoperirea calculului numeric la sfârșitul anilor 1600 de către matematicianul britanic Isaac Newton și matematicianul german Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton și-a introdus propria teorie a numerelor infinit de mici, sau infinitesimale, pentru a justifica calculul derivatelor, sau al pantelor.
Cercurile concentrice și infinitul
Cercurile concentrice demonstrează că dublul infinitului este același cu infinitul
O utilizare mai directă a infinitului în matematică apare odată cu încercările de a compara mărimile mulțimilor infinite, cum ar fi mulțimea punctelor de pe o dreaptă (numere reale) sau mulțimea numerelor numărabile. Matematicienii au fost rapid surprinși de faptul că intuițiile obișnuite despre numere sunt înșelătoare atunci când se vorbește despre mărimi infinite.
Gânditorii medievali erau conștienți de faptul paradoxal că segmentele de dreaptă de lungimi variabile păreau să aibă același număr de puncte. De exemplu, se desenează două cercuri concentrice, unul cu raza de două ori mai mare decât a celuilalt (și, prin urmare, cu circumferința de două ori mai mare), așa cum se arată în figură. În mod surprinzător, fiecare punct P de pe cercul exterior poate fi asociat cu un punct unic P′ de pe cercul interior trasând o linie de la centrul lor comun O la P și etichetând intersecția sa cu cercul interior P′. Intuiția sugerează că cercul exterior ar trebui să aibă de două ori mai multe puncte decât cercul interior, dar în acest caz infinitul pare să fie același cu dublul infinitului.
La începutul anilor 1600, omul de știință italian Galileo Galilei a abordat acest lucru și a obținut un rezultat similar neintuitiv, cunoscut acum sub numele de “paradoxul lui Galileo”. Galileo a demonstrat că mulțimea numerelor numărate poate fi pusă într-o corespondență biunivocă (unu-la-unu) cu mulțimea aparent mult mai mică a pătratelor lor. În mod similar, el a arătat că mulțimea numerelor numărabile și dublurile lor (adică mulțimea numerelor pare) pot fi asociate. Galileo a concluzionat că „nu putem vorbi despre cantitățile infinite ca fiind una mai mare, mai mică sau egală cu alta”.
Confuzia despre numerele infinite a fost rezolvată de matematicianul german Georg Cantor începând cu 1873. Mai întâi, Cantor a demonstrat riguros că mulțimea numerelor raționale (fracții) are aceeași dimensiune ca numerele numărabile; prin urmare, acestea sunt numite numărabile sau nenumărabile. Desigur, acest lucru nu a fost un adevărat șoc, dar mai târziu în același an, Cantor a dovedit rezultatul surprinzător că nu toate infiniturile sunt egale. Folosind un așa-numit „argument diagonal”, Cantor a arătat că dimensiunea numerelor numărabile este strict mai mică decât dimensiunea numerelor reale. Acest rezultat este cunoscut sub numele de “teorema lui Cantor”.
Ce este infinitul?
Infinitul este orice este nesfârșit. Se referă la timpul nesfârșit, o serie de numere care continuă la nesfârșit sau o serie perpetuă de operații.
Constituie infinitul o dimensiune efectivă și multiplă a realității? Sau rezidă doar în mintea noastră, o ficțiune necesară gândirii căreia nicio realitate fizică nu îi poate corespunde? Este infinitul real sau este doar o iluzie pe care ne-o imaginăm, o percepem și o simțim? Ce importanță are în matematică? Dar în fizică?
Călătorul, în succesiunea pașilor săi (un pas, apoi încă unul și încă unul), își dă seama că mersul său poate fi repetat la nesfârșit. În principiu, poate oricând să facă încă un pas.
Infinitul potențial
Această repetiție nelimitată conduce la intuiția inițială a unui infinit fără sfârșit: acesta este infinitul potențial, capacitatea de a merge mereu puțin mai departe. Este legat în mod natural de noțiunea de succesor al unui număr natural: 1, 2, 3 etc. Un număr este întotdeauna succedat de un alt număr și nu există un ultim număr, deoarece acest ultim număr are un succesor. Acesta este principiul recurenței, procesul fundamental care generează infinitul potențial.
Dar atunci, enunțarea lui 2 prefigurează deja infinitul potențial. Deoarece 2 = 1 + 1, și nimic nu ne împiedică să scriem atunci 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, ad infinitum. Unu este unitatea; doi este deja diversitate, multiplicitate. Dacă 2 implică deja infinitul, asta înseamnă că multiplicitatea, diversitatea sunt ele însele potențial infinite?
După cum se poate vedea, problema infinitului privește filosofia (și teologia, arta, etica etc.) la fel de mult ca și științele naturii. Este totuși necesar să se facă distincția între științele universului, științele materiei și științele numărului, adică matematica.
Infinitul la Aristotel
Pentru Aristotel, cuvântul „infinit” era asociat cu expresia imperfecțiunii. În urma acestui fapt, oamenii de știință (și cu atât mai mult filosofii și teologii) s-au opus cu înverșunare, de-a lungul secolelor, ideii de infinit real, dincolo de orice explicație rațională. Părinții Bisericii creștine timpurii, neoplatonicienii și scolasticii l-au considerat inițial un atribut al lui Dumnezeu.
Apoi infinitul a trecut de la teologie la matematică și filosofia naturii, apărând în discuții despre geometria perspectivă (secolul al XV-lea), despre infinitul mare în cosmologie (secolul al XVII-lea) și despre infinitesimale (secolele al XVII-lea și al XVIII-lea). Infiniturile au devenit astfel concepte posibile înainte de a fi stabilite și clasificate corespunzător, această ultimă etapă intrând în domeniul matematicii și logicii și ocupând cele două secole premergătoare secolului XXI.
Infinitul în matematică
În timp ce fizicienii, în general, încearcă să elimine infinitul din teoriile lor, întreaga matematică este ferm înrădăcinată în conceptul de infinit. Acest concept se referă la noțiunea de număr și la cea de mulțime. Există un număr care poate fi asociat cu noțiunea de infinit? Există mulțimi care conțin un număr infinit de elemente?
Aceste întrebări sunt formulate oarecum naiv, deoarece nimeni nu poate spune cu adevărat ce înseamnă „a exista” în matematică: există numere în afara noastră, într-un alt nivel al realității? În orice caz, infiniturile sunt o sursă de paradoxuri care au împiedicat dezvoltarea unei teorii care să permită manipularea lor timp de două mii de ani.
Printre aceste paradoxuri, cele mai frapante au fost cel al indivizibilelor (referitor la numere infinit de mici) și cel al reflexivității (referitor la numere infinit de mari). De fapt, aceste două infinituri par indisolubil legate: în cea mai mică parte a unei lungimi, de exemplu, se pare că se poate găsi un număr infinit de mare de puncte, de dimensiune infinit de mică.
Omniprezența infinitului în matematică este uimitoare, deoarece Omul este o ființă finită, limitată, îmbarcată pe o planetă finită și limitată. Totuși, această ființă finită examinează infinitul și se joacă cu el, până în punctul în care infinitul este esențial pentru înțelegerea finitului. Un exemplu imediat este calculul numărului π, raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său. Este o lungime finită, dar expresia sa este un număr cu un număr infinit de zecimale. Pentru a calcula acest număr (Arhimede încercase deja acest lucru), trebuie să se utilizeze un proces infinit.
Matematicianul Bernard Bolzano a fost cel care, la începutul secolului al XIX-lea, a propus pentru prima dată pentru infinit un statut echivalent cu cel al finitului. La sfârșitul aceluiași secol, lucrările lui Georg Cantor, considerate acum la originea matematicii moderne, au fost respinse cu groază de oamenii de știință. Georg Cantor a luptat singur, până când și-a pierdut mințile.
Cerul în raze gamma (așa cum a fost văzut de telescopul experimental cu raze gamma, EGRET / The Energetic Gamma Ray Exeperiment Telescope). Această hartă ar putea conține informații despre prezența antimateriei în galaxia noastră
Exemple de infinit în matematică
Te poți gândi la numărul de boabe de nisip de pe plajă sau la numărul de stele de pe cer ca fiind infinit, dar acestea sunt de fapt numere finite extrem de mari. Infinitul continuă la nesfârșit. Iată câteva exemple de infinit:
Secvența numerelor naturale este infinită. {1, 2, 3, …}
O linie sau chiar un segment de linie este alcătuit din puncte infinite.
În mod similar, un cerc este alcătuit din puncte infinite.
Numărul pi (π) continuă la nesfârșit. (3,14159…)
Anumite fracții sunt finite, dar sunt infinite atunci când sunt scrise ca numere zecimale. (1/3 este 0,333…)
Numărul numerelor prime este infinit.
Numărul phi (Φ) este raportul de aur, (1 + √5)/2, care este un număr zecimal infinit 1,618…
Deși astronomii pot vedea marginea Universului formată de Big Bang, nu se știe dacă acesta se va extinde la nesfârșit (infinit) sau se va opri și se va contracta din nou (finit).
Fractalii sunt structuri care pot fi mărite la infinit fără a-și pierde structura.
În teoria numerelor complexe, împărțirea lui 1 la 0 este o infinitate care nu se prăbușește. (Pe un calculator, împărțirea oricărui număr la zero este doar un cod de eroare – cannot divide by zero.)
Dacă traversați o cameră, parcurgând jumătate din distanța rămasă cu fiecare pas, vă va lua un timp infinit sau un număr infinit de pași pentru a ajunge la destinație.
Există multe exemple de serii infinite în matematică. De exemplu, 1 + 1/2 + 1/3 + … este o serie infinită.
Infinitul în fizică
Știința infiniturilor fizice este mult mai puțin dezvoltată decât știința infiniturilor matematice. Principalul motiv este pur și simplu faptul că statutul infiniturilor fizice este destul de nedecis. În fizică, s-ar putea căuta infinituri în spațiu, timp, divizibilitate sau dimensionalitate.
În consecință, abia la începutul secolului al XX-lea conceptul de infinit a fost (parțial) reabilitat în fizică. Teoria cuantică, cosmologia relativistă și modelele găurilor negre, de exemplu, au adus la lumină noi infinituri. De atunci, finitul și infinitul au coexistat în cadrul acelorași modele.
Dincolo de istorie (care este indispensabilă, întrucât nimeni nu poate înțelege obiectul unei științe fără să-i cunoască istoria), dorim să regândim „realitatea infinitului”, a infinitului mare și a geamănului său, infinitul mic, în lumina teoriilor moderne. În special, ne propunem să arătăm că cosmologia relativistă rămâne singurul domeniu al fizicii din care infinitul „real” (infinitatea spațiului, eternitatea timpului) nu a fost eliminat, reflectând poziția sa epistemologică unică în cadrul celorlalte științe. Cât despre cele mai recente dezvoltări din fizică (topologia spațiu-timpului, renormalizarea, vidul cuantic, teoria supercorzilor, cosmologia cuantică), acestea renasc constant infinitul din cenușă, ca un sfinx enigmatic cu multe fețe…
Deși unii au speculat că spațiul tridimensional este infinit, cosmologii cred în general că universul este curbat într-un mod care îl face finit, dar nelimitat – similar cu suprafața unei sfere. Unele teorii ale cosmologiei consideră universul ca fiind încorporat într-un superspațiu de dimensiuni superioare, care ar putea fi posibil infinit ca întindere.
În lumina modelului Big Bang-ului privind originea universului, cosmologii cred în general că universul are un trecut finit de lung. Dacă ar putea avea un viitor fără sfârșit este o întrebare deschisă. Conform perspectivei „viitorului infinit”, spațiul ar putea continua în mare parte așa cum este acum, cu galaxiile care se îndepărtează din ce în ce mai mult una de cealaltă, stelele arzând până când se transformă în gaz și praf, iar particulele rămase dezintegrându-se în radiații.
Alternativ, în perspectiva „viitorului finit”, o catastrofă cosmică la un moment dat în viitor ar putea distruge universul: spațiul se poate prăbuși până la un punct, sau poate o foaie paralelă de spațiu (o „brană”) se va ciocni cu universul nostru, anihilând totul. În oricare dintre scenariile catastrofale ale viitorului finit, există speculații că sfârșitul universului ar putea fi urmat de nașterea unui nou univers, caz în care viitorul ar putea fi, într-un anumit sens, infinit până la urmă.
Dacă materia ar fi infinit divizibilă, atunci fiecare obiect ar conține, în principiu, o colecție potențial infinită de particule. Dar mecanica cuantică exclude, sau cel puțin reprezintă o barieră formidabilă în calea noțiunilor de divizibilitate infinită.
Există, de asemenea, posibilitatea ca realitatea fizică să se bucure de un număr infinit de dimensiuni. Într-adevăr, mecanica cuantică este adesea formulată în termeni de spațiu Hilbert infinit-dimensional care este o extindere abstractă a spațiului euclidian. Spațiul Hilbert este crucial pentru analiza matematică și mecanica cuantică, unde funcțiile de undă (stările sistemelor cuantice) trăiesc într-un astfel de spațiu, modelând infinitatea de posibilități în sisteme complexe. Dar aceste dimensiuni sunt mai degrabă ficțiuni utile decât realități solide.
În cosmologie, infinitul ia o formă complet diferită, legată de conceptul de singularitate. Singularitățile sunt puncte infinitezimale de densitate și gravitație infinite, unde legile cunoscute ale fizicii nu funcționează. De exemplu, se presupune că singularitatea Big Bang-ului a fost punctul de origine al spațiu-timpului, comprimând toată materia și energia într-o stare infinit de densă înainte de începerea expansiunii universului.
Singularitățile sunt entități paradoxale în care infinitul se manifestă într-un mod distinct de expansiunea nemărginită. Caracterizate prin densitate infinită, gravitație și curbură spațio-temporală, singularitățile sunt puncte în care legile fundamentale ale fizicii încetează să se mai aplice.
Singularitățile găurilor negre sunt exemple bine-cunoscute, în care masa se prăbușește într-un punct infinit de dens, deformând spațiu-timpul în jurul său.
Singularitatea Big Bang-ului are o importanță deosebită în cosmologie, fiind teoretizată ca punctul de origine al universului. În acel moment, toată materia și energia au fost comprimate într-o stare infinit de densă și fierbinte, dând naștere expansiunii spațiu-timpului așa cum îl cunoaștem. Cu toate acestea, spre deosebire de infinitatea intuitivă a nesfârșitului, singularitățile sunt infinit de mici – aparent conținând energie și potențial nelimitate într-un singur punct adimensional.
Infinitul ia multe forme, de la nesfârșitul abstract al simbolului cifrei opt până la densitatea paradoxală a singularităților cosmologice. Prin interpretarea intersecției simbolului infinitului ca singularitate și a buclelor sale ca expansiunea nelimitată a spațiu-timpului, acest cadru oferă un model unificat, vizual intuitiv, al originii și creșterii universului.
Acest concept adâncește înțelegerea noastră asupra infinitului, oferind o perspectivă nouă atât pentru explorarea științifică, cât și pentru contemplarea filosofică.
Infinitul în metafizică
Poate cel mai familiar context pentru a discuta despre infinit este în metafizică și teologie. Cantor a inventat distincția dintre infiniturile din matematică, fizică și metafizică. Deși Platon considera Absolutul finit, toți teologii și metafizicienii de la Plotin (205–270 e.n.) au presupus că Absolutul este infinit.
Ceea ce se înțelege prin „Absolut” depinde, desigur, de filosoful în cauză; ar putea fi interpretat ca fiind Dumnezeu, o minte universal cuprinzătoare sau pur și simplu clasa tuturor gândurilor posibile.
Infinitatea Absolutului poate fi folosită, la rândul său, ca dovadă a existenței gândurilor infinite sau a formelor matematice infinite. Raționamentul de aici se bazează pe noțiunea metafizică conform căreia, fiind cel mai mare lucru posibil, Absolutul ar trebui, într-un anumit sens, să fie formal necognoscibil. Adică, Absolutul ar trebui să se afle dincolo de orice încercare umană de a-l descrie pe deplin. Aceasta înseamnă că ar trebui să fie imposibil să se formuleze o proprietate simplă P și apoi să se definească Absolutul ca fiind lucrul unic care se bucură de proprietatea P.
Această linie de gândire conduce la ceea ce logicienii numesc principiul reflexiei. Conform principiului reflexiei, dacă P este orice proprietate pur și simplu descriptibilă de care se bucură Absolutul, atunci trebuie să existe ceva mai mic decât Absolutul care are și proprietatea P. Motivația principiului reflexiei este că, dacă ar eșua pentru o anumită proprietate P, atunci Absolutul ar putea fi definit ca lucrul unic care are proprietatea P, încălcând astfel principiul conform căruia Absolutul ar trebui să transcendă orice descriere umană a acestuia.
Poate surprinzător, noțiuni cu sunet metafizic, cum ar fi principiul reflexiei, sunt folosite de teoreticienii mulțimilor în investigațiile lor matematice asupra nivelurilor infinitului. De exemplu, se poate folosi argumentul principiului reflexiei pentru a argumenta existența mulțimilor infinite: universul absolut al tuturor mulțimilor este infinit; prin urmare, prin reflexie trebuie să existe o mulțime obișnuită care este, de asemenea, infinită.
Există un sens în care teoria mulțimilor poate fi considerată o formă de metafizică extrem de matematică. Cu toate acestea, lipsește în mod evident orice aplicație fizică pentru numerele transfinite din teoria mulțimilor. Cantor însuși a conjecturat că universul ar putea conține diferite tipuri de materie, diferitele tipuri de materie fiind descompuse în mulțimi infinite de dimensiuni diferite. Dar nimeni nu a găsit vreodată o modalitate de a încorpora această noțiune în mod util în fizica modernă.
Infinitul matematic: stimulentul perpetuu al matematicienilor
Infinitul este acum un instrument fundamental în matematică. Totuși, enigmele pe care acest concept le ridică încă obligă să se regândească cadrul dominant al disciplinei în ultimul secol: teoria mulțimilor.
„Matematica este știința infinitului”, spunea matematicianul german Hermann Weyl. De fapt, când vine vorba de infinit, putem distinge două tipuri de matematicieni: o mare majoritate a practicienilor, care îl folosesc ca instrument; și cei care, precum Georg Cantor, care a revoluționat înțelegerea sa la sfârșitul secolului al XIX-lea, fac din el un obiect de studiu matematic: logicienii sau specialiștii în fundamentele matematicii (teoria mulțimilor, teoria modelelor, teoria demonstrației).
Mulți, de exemplu, sunt preocupați de fenomenele limitative: ce se întâmplă când, pornind de la un număr finit de obiecte, acest număr devine din ce în ce mai mare și „tinde spre infinit”? Acest studiu al comportamentului asimptotic este esența a numeroase lucrări.
„Matematica fără infinit nu există.” Specialistă în ecuații care descriu sisteme de particule, Laure Saint-Raymond, profesoară la École Normale Supérieure din Lyon, își descrie experiența astfel: „A duce numărul de particule la infinit este mult mai abstract decât a face o măsurare fizică directă. Dar ne permite să formalizăm un rezultat, iar modelul rezultat este «mai simplu» într-un anumit sens. Munca mea constă în înțelegerea sistemului fizic finit ca o perturbație a sistemului infinit, a modelului asimptotic pe care l-am găsit.” „A lua limita ne permite să înțelegem mental infinitul. Lucrurile se simplifică la infinit”, adaugă Alain Connes, profesor emerit la Collège de France.
Limite, convergența seriilor și secvențelor, infinitatea numerelor prime, calculul infinitesimal, spațiul infinit-dimensional etc. Niciun domeniu al matematicii nu se poate lipsi de infinit, fie că este vorba de infinitul mare sau de infinitul mic. „Dacă mă întrebi cum folosesc infinitul, e ca și cum m-ai întreba cum fac matematică”, glumește Jean-Michel Kantor, profesor acum pensionar la Universitatea Sorbona. „Nu există așa ceva ca matematica fără infinit.”
Matematicienii vor să pună capăt infinitului pentru că nici lor nu le plac numerele enorme?
Un articol din revista New Scientist intitulat „De ce matematicienii vor să distrugă infinitul… și s-ar putea să o facă” intrigă deoarece infinitul fascinează, reprezentând și libertatea creativă, intelectuală și emoțională.
Este incredibil faptul că putem înțelege un concept atât de uimitor de la cea mai fragedă vârstă: „Spre infinit și dincolo de el!”, cum spune personajul fictiv Buzz Lightyear (Buzz-Fulgerul) din filmul de animație Toy Story (Povestea jucăriilor).
Poate pentru că îl simțim când privim orizontul sau pentru că îl simțim când ne descoperim capacitatea de a iubi.
Așadar, ideea că cineva ar putea dori să-l distrugă sună alarmant, mai ales dacă implică matematicieni.
Și asta pentru că și matematica fascinează… de la distanță, deoarece cunoștințele celor care nu sunt matematicieni sunt limitate, dar suficiente pentru a-și aminti că matematicienii Greciei antice observau cu mare atenție enigmaticul concept de infinit.
De la Zenon din Eleea (cca. 450 î.e.n.), cu celebrele sale paradoxuri asupra conceptului și manifestării sale în mișcare și continuitate, până la Arhimede (secolul al III-lea î.e.n.), care a explorat infinitul și a demonstrat cum să aduni un număr infinit de sume pentru a rezolva probleme geometrice, prefigurând calculul infinitesimal.
În secolul al XVII-lea, Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz au dezvoltat și formalizat această ramură fundamentală a matematicii, care se concentrează pe studiul schimbării și mișcării.
Ești uimit când înțelegi ceea ce a demonstrat matematicianul german de la sfârșitul secolului al XIX-lea, Georg Cantor: că nu exista o singură infinitate, ci mai multe și că unele erau mai mari decât altele.
Cu teoria sa a mulțimilor, Cantor a stabilit prima teorie matematică care a făcut posibilă tratarea incomensurabilului.
De atunci, infinitul a fost piatra de temelie a matematicii și fizicii contemporane și, prin urmare, a lumii noastre, inclusiv a vieții noastre de zi cu zi, deoarece joacă un rol vital în tehnologia și știința noastră.
Așadar, de unde vine dorința de a-l elimina?
„Pentru că infinitul este doar o iluzie”, declară Doron Zeilberger, distinsul profesor de la Universitatea Rutgers din New Jersey, un matematician ilustru și multipremiat.
Dar este și un disident, un ultrafinitist (adept al finitismului) proeminent, așa cum se autointitulează grupul de matematicieni, filozofi, informaticieni și fizicieni care timp de decenii au fost considerați radicali – un grup care, deși încă o mică minoritate, rămân o voce semnificativă.
Aceștia pun la îndoială conceptul de infinit și susțin că până și numerele finite, dar enorme, de exemplu, 10, ar putea fi nesemnificative.
Chiar dacă am număra fiecare atom din universul observabil, nu am ajunge niciodată la acel număr, așa că ne putem întreba ce rost are să vorbim despre asta?
Infinitul este real sau este doar o iluzie? Opiniile matematicianului Doron Zeilberger
„În filosofia mea, matematica a mers pe o cale greșită îmbrățișând infinitul”, afirmă Zeilberger.
„Oamenii nu și-au dat seama pentru că era ca o iluzie optică”, adăugă el, „ca vechea credință că Pământul este plat.”
„Oamenii credeau că universul este infinit, iar unii oameni încă mai cred asta, dar alții cred că este finit. Nu este limitat, pentru că poți oricând să mergi înainte, dar este finit, ca planeta noastră.”
Nelimitat, dar nu infinit? Poate: în teorie, ai putea călători în jurul lumii la nesfârșit pentru o perioadă nedeterminată de timp, dar asta nu înseamnă că Pământul este infinit.
„Deci cred că este un univers matematic.”
„Dar odată cu inventarea acestui concept artificial de infinit, totul a devenit foarte complex, elaborat și complicat.”
„Nu pot spune că matematica clasică este defectuoasă din punct de vedere logic, dar este inutil de complicată.”
Privind în urmă, dacă ți-ai fi dat seama că lumea este finită și că există un număr care este cel mai mare număr posibil, totul ar fi mai simplu.”
Dar dacă există un număr natural maxim, ce se întâmplă la adunarea lui 1, una dintre dovezile existenței infinitului?
Simplu, conform lui Zeilberger, într-o circularitate foarte elegantă, ne întoarcem la 0 (zero)… ceea ce, în exemplul nostru de a înconjura lumea la nesfârșit, ar fi ca și cum, la un moment dat, am ajunge înapoi la punctul de plecare inițial.
Poate că infinitul nu există, dar fractalii par să sugereze că există
„Ceea ce propun este oarecum analog cu revoluția lui Albert Einstein, care a demonstrat că viteza luminii este cea mai rapidă: nu poți merge mai repede de aproximativ 300.000 de kilometri pe secundă.”
„Einstein a avut noroc: a ajuns la un anumit număr. Nu am nicio idee care este cel mai mare număr, dar este irelevant; oricum, îl poți numi așa.”
„Ideea este că, cu el, poți recrea toată matematica și o poți face mult mai simplă. Deși recunosc că a face asta ar fi incredibil de plictisitor.”
Cert este că ultrafinitiștii propun o soluție radicală: eliminarea infinitului și limitarea la numere „fezabile”, pentru a simplifica știința și a o face mai practică.
Matematicienii rebeli
Ce face ca un număr să fie “fezabil”, realizabil?
Pentru Rohit Parikh de la Universitatea din New York, care a dezvoltat una dintre primele teorii ultrafinitiste formale în anii 1970 și a introdus ideea de «numere realizabile», cheia este menținerea unei legături cu activitatea umană.
„Trebuie să trasezi o linie undeva la un moment dat.” „Lucrurile trebuie să fie conectate la activitatea umană.”
Dacă un număr nu poate fi numit, calculat, stocat, transmis sau chiar identificat în mod coerent sub constrângeri fizice, există el cu adevărat ca obiect matematic?
Să luăm, de exemplu, numărul lui Skewes, un număr care apare în teoria numerelor, atât de extrem de mare încât pare să aibă mai multe cifre decât încap în univers. Este numit după matematicianul sud-african Stanley Skewes, care a fost primul care a calculat o limită superioară pentru acesta. În 1933, matematicianul Stanley Skewes a calculat o limită superioară enormă:
Numărul lui Skewes are o valoare gigantică
Deși absurd de mare, a fost util din mai multe motive, inclusiv pentru a arăta cât de departe poate merge matematica în căutarea certitudinii și pentru a demonstra că rezultatele pot fi sigure, chiar dacă sunt inutile în practica directă.
Acest lucru ar provoca respingerea ultrafinitiștilor: numărul Skewes și multe altele mult mai mici decât acesta ar fi cu mult peste această limită, care, insistă ei, ar trebui trasată.
Dar care este această limită?
Numărul lui Euler, o constantă matematică notată cu “e”, este un număr irațional transcendent care poate fi caracterizat în mai multe moduri. Este bază a logaritmilor naturali. Numărul “e” este uneori numit și numărul lui Euler după matematicianul elvețian Leonhard Euler, sau constanta lui Napier în cinstea matematicianului scoțian John Napier, care a inventat logaritmii.
Deoarece e este un număr irațional (și transcendent), valoarea sa nu poate fi dată cu un număr finit sau infinit periodic de zecimale. O valoare aproximativă, cu 20 de zecimale exacte, este e≈2,71828 18284 59045 23536.
În matematică, un număr real sau complex este numit transcendent dacă nu poate fi soluție a unei ecuații algebrice cu coeficienți raționali, sau, altfel spus, dacă nu este un număr algebric. Numerele care nu sunt algebrice se numesc numere transcendente. Numere transcendente celebre sunt π (pi) și e.
Numărul lui Euler se estompează la orizont. Numărul lui Euler, fundamental pentru modelarea fenomenelor de creștere și descreștere continuă, cum ar fi dezintegrarea radioactivă și creșterea demografică… este prea lung?
Există o anecdotă care este adesea citată în legătură cu părintele ultrafinitismului modern, Alexander Esenin-Volpin, un matematician care a fost un activist proeminent pentru drepturile omului în Uniunea Sovietică, motiv pentru care a fost închis în 1968, așa cum relatează Harvey Friedman în „Probleme filozofice în logică”.
În 2000, a avut ocazia să-i prezinte lui Esenin-Volpin obiecția pe care o au majoritatea matematicienilor față de ideea de a stabili limite.
„M-a rugat să fiu mai specific. Așa că am început cu numărul 21 și l-am întrebat dacă este «real» sau ceva de genul acesta. Aproape imediat a spus da. Apoi l-am întrebat despre 22, iar el a spus din nou da, dar cu o întârziere vizibilă. Apoi 23, și da, dar cu o întârziere suplimentară.”
„Acest lucru s-a întâmplat de mai multe ori, până când a devenit clar cum gestiona această obiecție. Desigur, era pregătit să spună da de fiecare dată, dar i-a luat de 2¹⁰⁰ ori mai mult să spună da la 2¹⁰⁰ decât la 2¹. Nu avea cum să ajungă prea departe cu asta.”
Anecdota ilustrează ideea fundamentală a ultrafinitismului: existența numerelor este din ce în ce mai mult pusă sub semnul întrebării pe măsură ce acestea cresc.
O chestiune de credință
În această perspectivă, aritmetica este ceea ce se poate face, limitat de timp, spațiu și resurse.
Există o limită dincolo de care totul este inutil.
Și această limită este, într-un fel, impusă de computere, care pot efectua calcule la care cei care au introdus infinitul și și-au imaginat numere enorme nu puteau decât să viseze.
„Uneori ai o ecuație diferențială atât de complicată încât nimeni nu știe exact cum să o rezolve”, a spus Zeilberger.
„Dar folosind computerele, poți obține o aproximare foarte bună, suficient de bună pentru toate scopurile practice, și așa se și face.”
Numărul π într-un cerc. Pi (π) are zecimale infinite care nu urmează un model logic, dar pentru aproape toate aplicațiile practice, 3,1415 este suficient. Un lucru uimitor, până în prezent, au fost calculate 63 de trilioane de zecimale ale numărului π
O mare parte din munca modernă în matematică se bazează deja pe finit, de la criptografie și verificare formală la structuri de date și algoritmii aleatori.
Și în fizică există cei care încearcă să aplice finitismul în speranța de a găsi teorii mai bune pentru a descrie lumea noastră.
Pentru fizicianul suedez-american Max Tegmark, infinitul este un concept frumos, dar el distruge fizica.
„Cele mai bune simulări ale noastre pe computer care descriu cu exactitate totul – de la formarea galaxiilor la clima viitoare și masele particulelor elementare – utilizează doar resurse de calcul finite, tratând totul ca fiind finit”, a scris el în cartea sa „Această idee trebuie să moară”.
Cu toate acestea, dacă legăm strâns matematica și fizica de capacitățile limitate ale computerelor, nu riscăm să legăm înțelepciunea și aventura explorării noastre mai degrabă de ceea ce este posibil, decât de ceea ce este realizabil?
Dacă infinitul este alungat din matematică, nu va fi imaginația limitată și creativitatea restricționată?
„Înțeleg că îți place infinitul și nu am de gând să te descurajez: unora dintre cei mai buni prieteni ai mei le place infinitul”, a glumit Zeilberger.
„Ideea este că trebuie să știi că există o modalitate de a reface toată matematica, cel puțin ceea ce este necesar pentru știință și tehnologie, folosind metode complet finite.”
În cele din urmă, este aproape o chestiune de credință.
„Infinitul poate exista sau nu, Dumnezeu poate exista sau nu, dar niciunul nu este necesar în matematică”, a adăugat el.
De fapt, matematicienii nu caută să „distrugă” infinitul
Matematicienii nu caută să „distrugă” infinitul, ci mai degrabă să îl înțeleagă și să îl formalizeze pentru a evita contradicțiile, deoarece acesta pune probleme filosofice (este un număr?) și logice (paradoxuri). Au reușit în mare măsură datorită Teoriei mulțimilor a lui Cantor și axiomei infinitului, acceptând infinitul real ca un obiect matematic coerent, deși dezbaterile persistă cu privire la natura și aplicarea sa practică.
De ce această dorință de clarificare?
Probleme de definire: infinitul nu este un număr obișnuit; nu se comportă ca numerele finite (de exemplu, 1/0 poate tinde spre +∞ sau -∞, încălcând tranzitivitatea).
Paradoxuri: ideea de infinit ca un întreg complet (infinitul real) a creat paradoxuri, cum ar fi cel al reflexivității, ducând la inconsecvențe.
Diferența dintre infinitul real și cel potențial: infinitul potențial (un proces fără sfârșit, de exemplu, care se apropie de 0) este mai puțin problematic decât infinitul real (o mulțime infinită completă).
Cum abordează matematicienii acest lucru?
Teoria mulțimilor (Cantor): această teorie a permis o tratare riguroasă a mulțimilor infinite, arătând că există diferite „mărimi” ale infiniturilor (infinit numărabil, infinit nenumărabil).
Axioma infinitului: acest postulat din teoria Zermelo-Fraenkel (ZF) garantează existența mulțimilor infinite (precum numerele naturale).
Calculul infinitesimal: infinitul potențial (limitele) este adesea folosit în aplicații, făcând calculele precise fără a trata infinitul ca un singur număr.
Pot matematicienii să „distrugă” infinitul?
Nu, nu îl distrug, nu îl desființează, dar îl „controlează”, îl domină, îl stăpânesc.
Au creat cadre (Teoria mulțimilor) în care infinitul este un obiect matematic coerent, deși interpretarea sa (de exemplu, în multiversul teoretic al mulțimilor) rămâne un subiect de dezbatere.
Infinitul rămâne un instrument puternic pentru fizică și matematică, chiar dacă statutul său filosofic este în evoluție.
© CCC