Matematica în natură
Pentru cei ce nu sunt familiarizați cu matematica este greu să aibă un sentiment real pentru frumos, pentru cea mai profundă frumusețe, a naturii… Dacă vrei să afli mai multe despre natură, să apreciezi natura, trebuie să înțelegi limba pe care o vorbește.
Richard Feynman (© CCC)
Nimic nu este întâmplător în natură. Fiecare element ocupă un loc precis pentru a îndeplini o anumită funcție. Oamenii de știință și, în acest caz, matematicienii, își dau seama că organizarea naturii se bazează pe modele matematice precise. Acestea se bazează pe șirul lui Fibonacci și pe numărul / proporția /secțiunea de aur.
Unii susțin că utilizarea acestor două elemente promovează estetica. De exemplu, structura în spirale logaritmice a florilor ar atrage insectele polenizatoare, ceea ce ar favoriza reproducerea lor. De asemenea, frunzele sunt organizate într-un anumit mod pe tulpina lor pentru a capta cât mai multă lumină posibil. Matematica face parte integrantă din mediul nostru.
Floarea-soarelui spiralată
Floarea soarelui este organizată conform șirului lui Fibonacci
A priori, floarea-soarelui este o floare cât se poate de banală: o tulpină, petale, o corolă și semințe în interior. Da, dar apropiați-vă și priviți mai atent partea centrală a florii. Nu vedeți nimic special? Nu vă sare nimic în ochi?
Semințele sunt organizate în spirale. Unele se rotesc spre stânga, iar altele, spre dreapta. Distrați-vă numărându-le. Și repetați experiența pe plante diferite de floarea-soarelui. Surpriză: de fiecare dată se găsesc aceleași numere de spirale: 21 și 34. Ciudat? Nu, doar matematică.
Floarea-soarelui este formată din două grupuri de spirale. Potrivit cercetătorilor, aspectul lor se bazează pe “unghiul de aur”, egal cu 360 ° / (1 + phi) = 137,5 °. Creșterea plantei formează două serii de spirale care se rotesc în direcții opuse. În fiecare caz, numărul de spirale corespunde la doi termeni consecutivi ai secvenței Fibonacci.
Dacă încercați cu o margaretă, veți găsi un alt cuplu de numere care au particularitatea de a aparține, precum cele din exemplul precedent, tot șirului lui Fibonacci. Acest șir de numere poartă numele celui care le-a descoperit, matematicianul Leonardo Fibonacci.
Pentru a explora numerele Fibonacci este suficient să se numere petalele florilor. Cel mai adesea se vor găsi 5, 8, 13, 21 sau 34 de petale.
Floarea-soarelui este deosebit de interesantă deoarece exprimă numerele lui Fibonacci în mai multe feluri. Dacă se numără petalele florii-soarelui, cel mai probabil se vor găsi 21, 34 sau 55 de petale. Dacă se priviește centrul florii, se va observa un model cu spirale orientate în doua direcții, care se intersectează.
Există și alte elemente vegetale care au modele dublu-spiralate, precum conurile de pin, de brad, coaja de ananas, centrul margaretelor și floarea de anghinare.
Spiralele simple care se desfașoară dupa șirul lui Fibonacci se regăsesc la cochiliile de melci, ferigi, căluțul-de-mare, floarea de trandafir, dar și în forma tornadelor și a galaxiilor.
Conurile de pin
Proporția de aur este omniprezentă în șirul Fibonacci
Leonardo Pisano Bigollo sau Leonardo Fibonacci (Fibonacci,“fiul lui Bonaccio”) sau Leonardo din Pisa era un matematician italian care a trăit în perioada Evului Mediu, între anii 1180 – 1250, secolele XII și XIII. Pe lângă descoperirea acestei serii incredibile de numere, acesta își datorează faima și gloria mondială popularizării în Occident a numerotației indo-arabe, care ulterior a înlocuit numerotarea romană, dovedindu-se a fi mult mai potrivită pentru efectuarea operațiilor aritmetice.
Solzi în spirală dublă
Ca și semințele de floarea soarelui, conul de pin are solzi care sunt organizați într-o dublă elice: stânga și dreapta. Numărându-le, se întâlnesc oricum numere Fibonacci, nu neapărat 21 și 34, dar care se succed. Care sunt aceste numere și care este acest celebru șir?
Nimic foarte complicat în sine. Acest șir este 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 etc. Nu are limită. Pentru a-l constitui, nimic nu poate fi mai simplu, pentru a găsi un număr, se adaugă numărul precedent. De exemplu, numărul 5 se obține prin adăugarea celui precedent lui 3: 3+2 = 5, și așa mai departe.
Șirul lui Fibonacci și raportul de aur, Φ (phi) = 1,6
Organizarea în pătrate
Creșterea calculată a frunzelor
Alternanța frunzelor pe o tulpină nu este întâmplătoare
De-a lungul tulpinii unor plante, frunzele cresc descriind o curbă care se rotește și ea sub formă de elice (elicoidal) de jos în sus. Șirul lui Fibonacci este foarte prezent în natură și în special la plante.
Are un număr incredibil de proprietăți. Ne vom concentra asupra uneia dintre ele: raportul a două numere consecutive ale șirului este, alternativ, mai mare și mai mic decât numărul de aur (2/1, 3/2, 5/3 etc.). Acest număr se găsește în alte domenii decât științele de bază: artă și arhitectură. Cel mai faimos exemplu este construcția Partenonului din Atena, Grecia. În limba greacă antică, acest număr este simbolizat prin litera phi. Valoarea sa este de aproximativ 1,6.
Spirala logaritmică
Matematica intergalactică
Galaxie spirală. Această formă spiralată a fost studiată, printre alții, de Descartes
Pasionații de astronomie sunt familiarizați cu structura galaxiilor. Unele au o formă foarte distinctă și caracteristică: spirala logaritmică. Se mai numește și spirală de creștere
Denumită spirală logaritmică de Pierre Varignon, un mare matematician francez de la începutul secolului al XVIII-lea, a fost studiată, printre alții, și de filosoful Descartes. Din punct de vedere matematic, această spirală este reprezentarea grafică a unei ecuații la care unul dintre elemente este numărul de aur.
Evocând acest număr remarcabil, nu ne putem gândi decât la spiralele formate din semințele de floarea-soarelui și la creșterea frunzelor pe o tulpină, care sunt, de asemenea, logaritmice.
Spirala logaritmică poate fi admirată sub formă de:
• spirale galactice, mai concret în formarea și evoluția brațelor spirale. Sunt de o imensă frumusețe. Se găsesc în zeci de miliarde de galaxii. Galaxiile spirale reprezintă mai mult de jumătate din populația galactică a universului;
• cicloni tropicali (de exemplu, uragane);
• în lumea biologică, se găsesc deseori structuri aproape identice cu cea a spiralei logaritmice – cochiliile anumitor specii de melci, pânzele de păianjen, dispunerea solzilor pe conurile de pin, dispunerea semințelor de floarea soarelui. Există, de asemenea, spirale logaritmice pe coaja de ananas. Secvența Fibonacci apare în toate aceste spirale.
Reprezentarea geometrică a Șirului lui Fibonacci
Spiralele sunt generate de galaxiile spirale, de cochiliile melcilor, de vârtejurile de apă, ciclonii tropicali, de mișcarea curenților de aer.
Proporţia divină a condus la construirea Dreptunghiului de aur, în care raportul laturilor este egal cu numărul de aur, 1,6, probabil, „codul sursă” al Creației lui Dumnezeu. Acest dreptunghi este considerat ca fiind deosebit de estetic. În întreaga creație se păstrează această proporție perfectă. Probabil de aici provine și numele de ”formula fericirii” care i s-a dat. Există o sferă de conștiință a armoniei și a frumuseții care ghidează întregul univers.
Cochilie gradată milimetric
Amonit, moluscă cefalopodă fosilă, cu cochilia în formă de spirală împărțită în mai multe compartimente, care a trăit în paleozoic. Compartimentele cochiliei permit gasteropodului să plutească prin umplerea lor cu aer
Această ilustră fosilă a unei moluște nevertebrate, cunoscută de toți fanii paleontologiei, are o cochilie spiralată. Este o construcție geometrică care se bazează pe numărul de aur.
Divergența
Interiorul cochiliei are mai multe cămăruțe construite de moluscă. Dacă se privește mai atent, se observă că două cămăruțe consecutive formează întotdeauna același unghi între ele. Oamenii de știință îl numesc divergență. Acesta este și cazul spiralelor formate de semințele de floarea-soarelui, precum și de solzii conului de pin.
În plus, amonitul se înfășoară, ca multe gastropode, spre dreapta, urmând o spirală a cărei rază de curbură crește urmând șirul lui Fibonacci.
Un alt fapt pur matematic, atunci când o structură spiralată folosește șirul lui Fibonacci, divergența este foarte apropiată de divergența de aur, un unghi legat de numărul de aur.
Frunze de begonia
Petele de pe blana animalelor
Ecuația lui James Murray
Forma și dispunerea petelor de pe blana ghepardului depind de ecuația lui Murray
Zebrele au dungi, girafele au pete de formă geometrică, iar gheparzii au mici pete rotunde. De ce același mecanism biologic poate fi la originea multor varietăți de modele de pe blana animalelor? Răspunsul se află în matematică.
Toate varietățile de modele ale petelor de pe blana animalelor sunt legate de un singur mecanism biologic cunoscut sub numele de mecanism de reacție-difuzie.
Anumite molecule chimice, morfogenii, vor activa sau inhiba la un moment dat al creșterii embrionului, producerea de melanină, un pigment negru. Viteza de difuzie a acestor doi morfogeni, precum și concentrația lor influențează, de asemenea, forma și localizarea petelor de pe blana viitoare a animalului.
Toți parametrii săi sunt luați în considerare într-o ecuație complexă dezvoltată de James D. Murray: este modelul matematic al lui Murray. Prin urmare, acesta guvernează complet sistemele de reacție-difuzie.
[James Dickson Murray (n. 2 ianuarie 1931 la Moffat, Scoția), matematician britanic, profesor emerit de matematică aplicată la Universitatea din Washington și Universitatea din Oxford. Este cunoscut mai ales pentru cartea sa Matematică și biologie.]
Geometrie fractală
Structură autosimilară
Feriga, ca și conopida, este un obiect fractal natural
Conopidă sau broccoli Romanesco
Ați privit vreodată cu atenție o ferigă în pădure? Nu v-a frapat nimic? Priviți cristalele de zăpadă. Veți constata cum construcțiile lor se bazează pe reproducerea aceluiași motiv la scări din ce în ce mai mici. Această structură similară cu sine (autosimilaritate) se găsește aproape peste tot în natură, la conopidă, nori etc. Aceasta este geometria fractală. Din punct de vedere geometric, fractalul este un anasamblu ale cărui părți sunt într-o bună măsură identice cu întregul. Această proprietate se numește autosimilaritate.
Benoît Mandelbrot (1924 – 2010), matematician american, de origine poloneză, părintele geometriei fractale, descria aceste forme în anii 1960 și le numea fractali. El a elaborat astfel instrumentul capabil să analizeze neregularitatea structurală a lumii naturale, atât la scară macroscopică, cât și microscopică.
Utilizarea umană
Ideea de inserare autosimilară i-a venit omului în mod spontan. Intuiția fractalității a fost întotdeauna parte a moștenirii umanității, ca dovada a acestui fapt, creațiile umane reproduc această geometrie fractală. Ea este utilizată pentru modelarea iregularităților formelor din imaginile generate de computer.
© CCC