Transformarea realității: proiectia și structura

Escher era fascinat de perfecțiunea formei și de figurile geometrice “clasice”.

Poliedre

Dacă avea in vedere o posibilă transformare, aceasta era întotdeauna una de structura. Unul dintre exercițiile sale preferate era acela de a lucra asupra distorsiunilor geometrice, reflexiilor și simetriilor. Sfera era obiectul sau predilect, de altfel, a realizat chiar un autoportret distorsionat printr-o bilă de sticlă.

Mana cu sfera reflectanta sau Autoportret in oglinda sferica

Trei sfere, II

Se amuza proiectand viziunea noastră plana asupra realității pe bile, manere de usi de tip buton sau carafe de apă.

Este foarte dificil de elaborat si de desenat corect o reflexie distorsionată: Escher petrecea enorm de mult timp pentru a trasa linii de perspectivă, curbate cu grija, peste care isi suprapunea desenul. Nu avea cunoștințe speciale despre expresiile matematice ale acestor transformări, dar aplica metode geometrice extrem de pretentioase. Liniile sale sunt atât de regulate, incat par sa fi fost trasate cu un program special pentru desen.

Escher a lucrat si asupra altor transformari, uneori pur fanteziste, ca în exemplul de mai jos, în care se poate vedea canavaua (panză groasă cu firele rare) pregătitoare, folosita pentru a deforma centrul imaginii.

Activitatea sa asupra reflexiei si distorsiunii este remarcabila. Se poate vedea, de asemenea, un exemplu de distorsiune ondulatorie, care formeaza intrepatrunderi în reflexia in băltoaca de apa de ploaie.

Baltoaca

Rezultatul este aproape perfect. Cu toate acestea, trebuie efectuate mai multe transformări complexe pentru a realiza acest lucru: mai intai, se proiecteaza cercuri concentrice pe o suprafață plană vazuta in perspectivă, apoi se aplică o distorsiune circulară imaginii de baza. Această dexteritate in manipularea distorsiunilor i-a adus simpatia matematicienilor, mai ales in teoria grupurilor, în care conceptele de simetrie, imagine si transformare sunt fundamentale.

Balconul

In desenul “Expoziția Stampelor”, Escher a lăsat un cerc gol în centru. De ce? Aceasta “incompletitudine” a fost premeditata?

Expozitia stampelor

Este posibil ca grila de distorsiune sa fi fost prea greu de utilizat pe această mica parte centrală, chiar si pentru Escher. Cercetatorii, ajutati de artistul olandez Jacqueline Hofstra, au analizat transformările complexe ale grilei și au imaginat partea lipsă. Rezultatul (vizibil în prezentarea video de mai jos) este o scufundare in abis (mise en abîme) în care desenul se distorsioneaza prin răsucirea într-un vortex infinit:

Imaginarea partii lipsa din centrul desenului

Expozitia Stampelor, o lucrare neterminata?

Ce reprezinta aceasta gravura? Un tânăr ce priveste o stampa într-o galerie de artă. Dar se observa faptul ca daca este rotita in sens invers acelor de ceasornic, galeria devine parte din stampa observata. Imaginea devine din ce in ce mai larga (efect de zoom back) pana cand apare reprezentarea unui port. Cu alte cuvinte, tânărul priveste un tablou în care se află el insusi. Matematicienii au afirmat faptul că Escher a reprezentat acolo suprafete Riemann.

[Suprafetele Riemann au fost prezentate de Riemann in teza sa de doctorat, publicata sub numele de ”Theorie der Abelschen Funktionen” in anul 1857. Suprafetele Riemann neorientabile (numite ̧si suprafete Klein neorientabile), au fost studiate de Felix Klein in lucrarea ”Űber Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale”, aparuta in anul 1882. Definirea riguroasa a acestora a fost data de O. Teichmüller in lucrarea sa ”Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale”. Teichmüller a fost cel care a propus numele de ”Suprafete Riemann neorientabile” pentru obiecte ca banda Möbius, planul real proiectiv sau sticla lui Klein.]

Intrebarea care se pune este urmatoarea: de ce nu se poate continua rotirea? Pentru ca se ajunge in cercul nedesenat. De ce Escher nu a terminat de desenat centrul imaginii? Există două categorii de răspunsuri:

– Cel al lui Douglas Hofstadter, in prezent profesor de științe cognitive la Universitatea din Michigan (Statele Unite) și autor al lucrarii “Gödel, Escher și Bach, firele unei impletituri eterne” care crede ca: “Dacă această pată ar parea sa fie un defect, eroarea se afla probabil în așteptările noastre, deoarece Escher nu ar fi putut sa termine această parte a tabloului, fără a încălca regulile după care desena”. Și conchide: “Centrul spiralei este, și trebuie să fie incomplet.” “Această idee ma deranja ca și cum am pune o limită spiritului.”

[Lucrarea “Gödel, Escher și Bach, firele unei impletituri eterne” (publicata de Douglas Hofstadter in 1979 si pentru care a primit Premiul Pulitzer) prezinta modul in care se întrepătrund realizarile logicianului Kurt Gödel, ale artistului Maurits Cornelis Escher și ale compozitorului Johann Sebastian Bach. Dupa cum spune autorul: “Am realizat că Gödel, Escher si Bach nu erau decat umbre proiectate în direcții diferite, de către o esenţă centrală. Am încercat să reconstitui acest obiect central, și asa s-a nascut această carte.”  A fost descrisa de editura care a publicat-o drept “o fugă metaforică  pe minti si mașini în spiritul lui Lewis Carroll”.

Prin explorarea unor teme comune în viața și lucrările celor trei, Gödel expune concepte fundamentale de matematică, simetrie și de inteligență. Prin exemplificare și analiză, cartea discută despre modul în care autoreferința și regulile formale permit sistemelor să dobândească semnificație, în ciuda faptului că au fost concepute din elemente “lipsite de sens”. De asemenea, se discută despre ce înseamnă să comunici, cum poate fi reprezentata și stocata cunoașterea, metodele și limitările reprezentarii simbolice, și chiar noțiunea fundamentală de “sens” în sine.]

– Cei care susțin că există o logică a continuatii desenului și care au căutat o soluție. Aceasta este abordarea lui Azar Khalatbari, jurnalist al revistei Science et Vie, pe care o relateaza in fascinantul sau articol din nr. 732, februarie 2008.

Când arta se uneste cu matematica, rezulta o emotie sau o teorie? Astfel, in 1956, Escher, renumit pentru iluziile sale optice, a lansat o provocare, sfidand legile percepției si ale perspectivei in Expozitia stampelor, o lucrare complexă, rămasă neterminată care s-a izbit de un zid imposibil de trecut. Capodopera sa neterminata a devenit rapid cea mai impenetrabila enigma din arta contemporana, atat pentru artisti, cat si pentru oamenii de stiinta. O jumătate de secol mai târziu, matematicianul olandez, specialist in algoritmi in teoria numerelor, Hendrik Lenstra, a surprins intreaga lume încercand să dezlege enigma, realizand o punte fantastică între intuiția artistului și cea proprie, spargand zidul infinitului! Fuziunea dintre intuițiile unui artist și ale unui matematician…

Revista Sciences et Avenir scrie:

“Cum se poate umple golul lasat in centrul Expozitiei stampelor? Echipa de matematicieni a lui Hendrik Lenstra, de la Universitatea din Leiden (Olanda), a regasit mai întâi grila de torsiune utilizata de artistul Maurits Cornelis Escher. Apoi, cercetatorii au incercat sa inteleaga structura matematică care se ascundea în aceste trasee întortocheate. Ei au înțeles că este vorba despre o combinație de mai multe funcții: dilatare, torsiune (răsucire), proiecție conforma (denumita si proiectie echiunghiulara, deoarece pastreaza nedeformate unghiurile, elementele deformate fiind suprafetele si distantele) – o operațiune care menține unghiurile grilei, folosind, se pare, suprafata Riemann. Folosind aceste reguli matematice, ei au calculat diferitele etape ale reconstituirii… (1, 2, 3 și 4) care va urma sa fie plasata in centrul Expoziției stampelor. Desenul final (5), dificil de realizat, este opera artistei olandeze Jacqueline Hofstra.”

Achever l’inachevable

Trailerul filmului lui Jean Bergeron, “Achever l’inachevable”  (A termina interminabilul)

Video: “Achever l’inachevable”

De ce Escher nu a terminat el insusi centrul desenului? Iată ce crede Jean Bergeron despre acest subiect:

“In ceea ce privește capacitatea lui Escher de a finaliza el insusi desenul, exista controversa ca  mijloacele tehnice din vremea sa nu i-ar fi permis sa-l finalizeze intr-un mod care sa-l satisfaca.

L-am intervievat pe unul dintre fiii sai, (George, cel care a făcut pace cu tatăl său) și subiectul este discutabil. Un detaliu interesant, la sfârșitul perioadei pavajelor periodice, Escher a dezvoltat o aversiune față de personajele sale “de-a-ndoaselea” precum spiridusii – astfei incat a început să deseneze doar pavaje care respectau legea gravitatiei. M-am întrebat dacă motivul pentru care nu a terminat desenul (altul decat motivul finetei extreme a liniilor) a fost faptul că personajul ar fi fost cu capul în jos. Este posibil, dupa spusele lui George, dar puțin probabil. Preocuparea sa de capetenie era autoreferința.

[Autoreferinţa apare în literatură sau în filme, atunci când autorul se referă la creaţia sa chiar în cadrul acelei creaţii (lucrări). Exemple celebre se găsesc în Don Quijote, de Cervantes sau în lucrarea lui Italo Calvino, Dacă într-o noapte de iarnă un călător.]

In ceea ce privește soluția, matematica are calitatea de a nu avea nevoie de consens, ci exista doua posibilitati, astfel incat ceva este fie adevarat, fie fals. Lenstra a fost în măsură să demonstreze că soluția sa este unică și exacta – singurele variatii fiind gradele de torsiune și “clicurile” de întâlnire între linii. Cel mai fascinant lucru dintre toate este faptul că soluția declarata trece printr-un pavaj periodic escherian pe un plan imaginar. Acest lucru l-am evocat în film, dar ar fi fost necesare peste zece minute pentru a explica în detaliu acest aspect extraordinar și destul de neașteptat – de unde se intrevede magia intuiției umane, tema de bază a filmului.”

Enigma Expozitia stampelor descifrata si explicata: Escher si efectul Droste

În mai 1956, cand M.C. Escher a finalizat litografia „Expozitia stampelor”, intr-o scrisoare către fiul său Arthur, a scris următoarele despre aceasta:

“Ciudata litografie, despre care ți-am vorbit ultima dată, este terminata, chiar dacă nu a fost încă imprimata. Nu cred că am făcut vreodată în viața mea ceva asa de ciudat. Printre altele, aceasta  arată un tânăr privind cu interes o stampa, de pe peretele unei expoziții, care il include si pe sine insusi. Cum se poate așa ceva? Poate că nu sunt departe de universul curbat al lui Einstein.”

În lucrarea originală, Escher a lăsat un spațiu gol în centru. Se poate vedea modul în care această spirală a fost continuata folosind efectul Droste.

Aplicarea matematicii in litografia Expozitia stampelor

Această structură matematică răspunde unor întrebări despre lucrarea lui Escher, printre care: “ce se afla în pata neclara din mijloc?” Printr-un procedeu in cinci pasi, a fost realizata o mare varietate de imagini diferite, atat cu imaginea normala, cat si cu imaginea răsucita intr-o parte.

Escher si efectul Droste

Escher and the Droste Effect

Efectul Droste – cunoscut in arta sub numele de “scufundarea in abis” – este un efect vizual prin care o  imagine apare în sine insasi, într-un loc în care o imagine similară ar fi de așteptat să apară. Aspectul este recursiv: versiunea mai mică conține o versiune si mai mică a imaginii, și așa mai departe. Numai în teorie acest lucru ar putea continua la nesfârșit, practic, se continuă doar atâta timp cât permite rezoluția imaginii, ceea ce este de durata relativ scurta, deoarece fiecare iterație reduce geometric dimensiunea imaginii. Este un exemplu vizual al unei bucle ciudate, un sistem autoreferențial al unei imagini, care este piatra de temelie a geometriei fractale.

Efectul Droste in cazul fractalilor

Scufundarea in abis: procedeu constand in a reprezenta o lucrare într-o lucrare de același tip, de exemplu, prin încorporarea unei imagini în sine insasi. Se regaseste în acest principiu “autosimilaritatea și principiul fractalilor sau al recursivitatii in matematica. De exemplu, pentru un artist, prezentarea unei lucrari in interiorul unei alte lucrari care se refera la prima, a unui film intr-un alt film, a unei picturi intr-o alta pictura, a unei povesti intr-o alta poveste etc. Mai plastic spus, un fel de papusi Matrioșka ce se gasesc unele intr-altele, din ce in ce mai mici. Termenul a dezvoltat o serie sensuri particulare în critica modernă, întrucât a fost preluat din heraldică de autorul francez André Gide. Sensul obisnuit al expresiei este, de asemenea, cunoscut sub numele de efect Droste, care descrie experiența vizuală de a sta între două oglinzi, văzând o reproducere infinita a unei imagini, dar fraza are mai multe semnificații în domeniul artelor creative și teoria literară .

Reflexia unei oglinzi in oglinda, prin asezarea a doua oglinzi fata in fata

În istoria artei occidentale, “scufundarea in abis” este o tehnică formală, în care o imagine conține o copie mai mica a ei înseși, într-o secvență ce apare repetandu-se la infinit, adica “recursiv”.

Efectul Droste in arta

Transformări

Figura de mai jos prezintă, pentru o anumita grilă, modul în care prin efectul Droste imaginea este transformata într-o imagine similara Expozitiei stampelor a lui Escher. Cele două imagini au o simetrie de tip mozaic, și permit aceeași schimbare verticala. Urmatoarele imagini reprezinta o rotație de aproximativ 41 de grade, in sens invers acelor de ceasornic, și o scalare de aproximativ 75%. Transformările verticale reprezinta “harta” exponențiala pe planul numerelor complexe.

Alegeri diferite ale “hărții” orizontale, care se rotește și se scaleaza, conduc la mai multe imagini diferite.

[A scala ceva pentru ceva: a redimensiona; a proiecta sau a ajusta dimensiunea (marimea) unui obiect pentru a se potrivi marimii sau a completa marimea unui alt obiect.]

Comparatia grilelor: grila lui Escher si grila matematica

In stânga, se poate vedea grila pe care si-a facut-o Escher, iar in dreapta, grila data de formula matematică.

Grile de distorsiune

Litografia lui Escher obtinuta in 5 pasi (cu centrul neterminat)

Pasul 1: separarea imaginii lui Escher

Prima faza a constat in reconstruirea peisajului din Malta, prin îndreptarea imaginii lui Escher, utilizand grila acestuia. Joost Batenburg a realizat aceste imagini cu un program pe calculator din imaginea scanată și grila lui Escher.

Imaginea rezultată prin efectul Droste este păstrată prin scalarea cu un factor de 256 = 2⁸. Se poate vedea această imagine ca un ciclu de 8 cadre, marite de fiecare dată cu factorul 2.

Pasul 2: redesenarea peisajului din Malta

Hans Richter a luat pozele îndreptate la Pasul 1, a completat zonele goale și a ajustat perspectiva pentru a obține un desen consistent.

Se poate vedea aceasta imagine rezultată prin efectul Droste în 4 cadre, fiecare fiind mărita cu factorul 4.

Pasul 3: generarea desenului dublu periodic

Prin aplicarea hartii logaritmice complexe, un program pe calculator al lui Joost Batenburg a produs versiunea dublu periodică a desenului de la pasul 2. Imaginile in 4 cadre de la pasul 2 sunt combinate într-o singura imagine.

Pasul 4: generarea desenului dublu periodic

Imaginea de la pasul 3 a fost imbunatatita și completata cu valori de nuanțe de gri de catre Jacqueline Hofstra.

Această imagine este baza tuturor celorlalte care au fost realizate si conține toate informațiile despre peisaj într-o rezoluție variabila continuu.

Pasul 5: mai multe variante ale efectului lui Escher

Cu un program pe calculator al lui Joost Batenburg, se poate roti și redimensiona imaginea de la pasul 4 în multe moduri diferite, și se aplică harta exponențială complexa.

Următorul tur prezinta 7 exemple:

Imaginile ulterioare pentru completarea litografiei lui Escher (imaginile din pata centrala)

Dupa al 5-lea pas al procedeului aplicat,  se obtine completarea imaginii lui Escher. Se poate  vedea această imagine și zoom-in-urile lor succesive pentru partea neterminata din mijloc.

Imaginile lui Esher incepand de la pasul 5

Grilele de lucru pentru imaginile corespunzatoare de la pasul 5

© CCC

Escher, artistul “hiperbolic” si matematica vizuala (1)

Escher, artistul “hiperbolic” si matematica vizuala (3)